En la wikipedia puedes encontrar varios argumentos más, te dejo el primero a ver si puedes rebatirlo.
0,9 periódico 0,999 (donde el dígito 9 se repite indefinidamente), denotado como 
, 
ó 0.(9), es un número real. Curiosamente, este número es exactamente igual al número entero uno. Varias pruebas de esta identidad con rigor variable, han sido formuladas dependiendo del énfasis que se quiera hacer, tomando en cuenta por ejemplo los conocimientos previos y la audiencia a la que se expone el tema.
La igualdad ha sido aceptada por los matemáticos hace ya bastante tiempo y aparece de manera rutinaria en libros de texto. En décadas recientes, investigadores en el área de la enseñanza de las matemáticas han estudiado cómo los estudiantes perciben esta ecuación. Una gran cantidad de ellos rechazan la ecuación, principalmente debido a la errónea impresión de que cada fracción decimal describe un único número real.
Multiplicación de 1/3
- Partimos de que 1/3 = 0,333
- Multiplicamos por 3 ambos miembros: 3 í— (1/3) = 3 í— 0,333, que debería dar 0,999
- Vemos que 0,999 debe ser forzosamente 1, puesto que (1 / 3) í— 3 = 1.
Cuando tenemos una fracción podemos representarla también como una división. Tomaremos una fracción que traducida a decimal se convierte en un número periódico que es lo que nos interesa.
1/3 = 1:3 = 0,3 periódico
Sabiendo que si intentamos dividir 1 por 3 obtendremos que el 3 se repite infinitamente después de la coma, se deduce que el 3 es infinito porque obtenemos dos veces seguidas el número 3 en el cociente de la división y por obtener la misma cantidad de veces el mismo resto. Entonces conseguimos infinitamente un resto, en este caso 1.
Asimismo, por deducción se entiende que el resto siempre será “0 coma†con tanta cantidad de ceros como decimales después de la coma con la excepción del último lugar que estará ocupado por el 1.
Al cociente 0,3 le corresponde un resto 0,1
Al cociente 0,33 le corresponde un resto 0,01
Al cociente 0,333 le corresponde un resto 0,001
Y así sucesivamente.
Para comenzar a resolver este problema debemos quitarnos de la mente por un instante la idea del cociente periódico. Tomaremos el cociente como un número entero, ya que al detener la división eso es lo que obtenemos(nadie ni nada puede dividir por toda la eternidad), y tomaremos el resto como otro número entero.
Partiendo de la formula : Dividendo =Cociente * Divisor + Resto
1 = 0,3 . 3 + 1
Convertiendo el resultado del Cociente y el Divisor a una fracción y luego colocando el mismo índice al resto:
1 = 0,9 + 1 => 9/10 + 1/10
Se obtiene que:
1= (9+1)/10 = 10/10 = 1
Al intentar dividir unas cuantas veces más se obtienen más decimales y resto sigue siendo 1.
{(0,333* 3)*1000}:1000 + 1/1000
{(0,999)*1000}:1000 + 1/1000
(999*1000):1000 + 1/1000
0,999+ 0,001 = 1
Se entiende que de 1/3 su cociente es:
0,33333….
y su resto es
0,000….1
POR LO TANTO Y NO FORZOSAMENTE EL 0,9 PERIí“DICO NO ES DE NINGUNA MANERA IGUAL A 1.